$3$\displaystyle{{ }^{}{ }^{}{ $ {a}^{x} $ }^{\prime }={a}^{x}\log a}$

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{ $ {a}^{x} $ }^{\prime }={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {a}^{ x+{\Delta}x }- {a}^{x} \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {a}^{x} $ {a}^{ {\Delta}x }- 1 $ \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}\text{\hspace{5}}={a}^{x}{ \lim }\limits_{ {\Delta}x\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} {a}^{ {\Delta}x }- 1 \hspace{2}}{\hspace{2} {\Delta}x \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}}$
$3$\displaystyle{ {a}^{ x+{\Delta}x }- t }$ とおくと， $3$\displaystyle{{\Delta}x\rightarrow 0}$ のとき $3$\displaystyle{t\rightarrow 0}$ となる。

また，
　　 $3$\displaystyle{\begin{array}{lll}{a}^{ {\Delta}x }=1+t& \vspace{6}\\ \log {a}^{ {\Delta}x }=\log $ 1+t $ & \vspace{6}\\ {\Delta}x\log a=\log $ 1+t $ & \vspace{6}\\ {\Delta}x=\frac{\hspace{2} \log $ 1+t $ \hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}}& \vspace{6}\\ \end{array}}$
となる。

よって，
$3$\displaystyle{\begin{array}{lll}={a}^{x} \{ { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2} \frac{\hspace{2} \log $ 1+t $ \hspace{2}}{\hspace{2} \log a \hspace{2}} \hspace{2}} \} & \vspace{6}\\ = \{ {a}^{x}\log a \} \{ { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2}t\hspace{2}}{\hspace{2} $ 1+t $ \hspace{2}} \} & \vspace{6}\\ = \{ \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \log $ 1+t $ \hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}} \hspace{2}} \} & \vspace{6}\\ \end{array}}$
( $3$\displaystyle{{}^\bullet\limits{ }_\bullet {}^\bullet { \lim }\limits_{ t\rightarrow 0 }\frac{\hspace{2} \log $ 1+t $ \hspace{2}}{\hspace{2}t\hspace{2}}=1}$ 参照⇒)

$3$\displaystyle{={a}^{x}\log a}$

指数関数の微分⇒

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